初中网校：程序性技能训练中的数学思想方法渗透

      日前，有机会参加“数学核心概念、思想方法”的课例研讨会，其中一个课例是“平方差公式”，这是典型的程序性技能训练课，与会者对技能训练避而不谈，似乎一谈技能训练就会被扣上“机械应试训练”的帽子（背地里大家都搞技能训练）．实际上，初中学生必须掌握基本知识、基本技能、基本数学思想方法，积累基本的数学活动经验．初中数学教材中的有理数的运算、整式分式运算、方程的解法等都属程序性技能训练范畴．程序性技能是指正确地运用相关运算法则（公式）和数学概念、按一定的程序和步骤进行数和式变形的技能．学生数学技能的习得离不开模仿、重复训练．只有提高技能训练的效率，才能更好掌握数学知识、数学思想方法；反之，注重数学思想方法的渗透，才能提高技能训练的效率．

一、提供足够数量的可供归纳的素材，学生经历“程序”的提炼过程．

     程序的提炼是归纳的过程，程序的运用是演绎的过程．提供足够数量的素材，学生才容易发现规律、产生归纳的心理需求，自发地从事归纳的行为，教师在日常教学中应注意引导学生从自发思考到自觉思考．

      本次课例中，湖北省襄樊市城关一中朱小平的教学中采用如下引例：

      （1）一位狡猾的庄园主把一块边长为a的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他提出把这地的纵向减少5米，横向增加5米，租金不变．张老汉同意．张老汉是否吃亏？

      （2）计算：；

      （3）计算：

      引例（1）的课堂处理中，朱小平老师设问：“是否吃亏”可用什么数学式子表示？这样的设计费时不超过两分钟，既让学生经历简单的数学建模过程，又激发学生的兴趣．引例（1）的作用不可小视．

      略显不足的是引例偏少，若多加两三小题，更有利于学生发现规律、产生归纳的需要，也有利于后续环节的公式运用．

二、归纳的素材要具有一定的“原生态”的特征，学生经历自然的筛选、归纳过程．

       数学从某种程度上可以说是研究“特殊”的科学，从众多对象中分辨出特殊对象中存在的共性规律．归纳素材的设置应关注数学知识赖以产生的“原生态”，教师提供的素材既包括待归纳其规律的特殊对象，也包括极少量的其它对象，学生经历自然的筛选、归纳过程．

      例如，平方差这一课的情景设置，可添加一两个不满足平方差公式的素材．更为大胆的设计是，把平方差与完全平方合并在同一课时，这样的设计更具“原生态”，符合平方差公式的素材与符合完全平方公式的素材既是待归纳的主要对象，又互为背景相烘托，教学效益倍增．

     一次函数、二次函数等的定义也可已如此安排．把一次、二次函数、反比例函数等的图象画法安排在同一课时，学生通过辨析图像、函数表达的特征产生对函数分类、下定义的需要，由于可供归纳的信息较丰富，学生的学习变得更容易．

      “原生态”的素材要植根于学生的已有知识经验和生活经验．学生经历抽象、概括的过程．笔者在《二元一次方程》课时的教学中如下实施，取得较好的教学效果．

环节一、创设情景

你知道下图中汉堡、雪糕的单价是多少（单位：元）吗？

环节二、数学形式化

设汉堡每个x元，雪糕每个y元. 你能用数学式子表示上述图式的意义吗？

      学生借助生活经验在一节课内学习了二元一次方程的定义，通过小组合作学会加减消元法、代入消元法．由图中的“汉堡、雪糕”转换为字母符号表示的方程组是抽象的过程，学生在解方程组的初期还会给方程组中的字母赋予“实际意义”，学生多次经历“由实例抽象出方程组”、“给方程组赋予实际意义”的循环往复的过程，达至数学的形式化．由于程序是学生自己探究出来的，学生在解方程组的初期还会多次“给方程组赋予实际意义”，学生对解方程组的程序的理解较为深刻．教师们普遍重视知识运用的重复训练而忽视知识生成过程的重复呈现．提供“原生态”的归纳素材，有利于学生在必要时重现知识生成过程，真正理解（而不局限于记忆）数学事实．

三、学生在“做中学”，在训练的过程中掌握程序．

      “先做后说”，不急于让学生用语言或文字准确描述数学规律．程序性技能训练中更不必让学生记忆“程序”．程序性技能训练中不宜人为设置判断对错的辨析题．技能的形成要通过多次重复训练（不能简单归结为机械训练），在“试误”的过程中理解程序，逐步达至程序运用的自动化，形成相关技能．

朱小平老师设计如下练习帮助学生认识平方差公式的特征：

1.       你能用□和○分别代表a和b平方差公式吗？

2.       请你根据等式在□和○里填数：（□+○）（□－○）=□2－○2

还有一些老师在学案中如下设计：

计算：

（1）  ，这里，；

（2）  ，这里，.

这样，学生在练习中不知不觉掌握了公式的结构特征．

      作为技能训练课，堂上应留出足够的时间给学生动笔（不是动口）独立完成一定数量的练习，教师保持缄默，及时巡堂面批、个别辅导，及时反馈回授．

四、引导学生适时反思，经历“自觉——自发——自觉”的训练过程．

      学生在模仿、反思的过程中理解解题程序，技能形成前，学生要投入较大的注意力思考．经过多次重复，较终形成技能．技能形成后，简单的重复训练就容易陷入机械训练，此时，应引导学生进行有意识的反思小结，进一步认识程序的合理性、应用的广泛性，提高解题技巧等．

例如，解方程： 

      按程序解，方程两边应除以0.5. 这在技能形成初期，这样的解法保持了程序的统一、简单可操作性，有利于大部分学生的学习．但技能形成后，应引导学生理解“方程两边除以未知数的系数的目标是变形为的形式，即把未知数的系数化为1”，这样，学生容易催生出“方程两边乘以2”的解法．

     程序性技能训练的过程本质是归纳的过程．程序性技能训练的课型大致要经历程序的发现归纳、程序的合理性解释（证明）、程序的初步应用、程序的熟练应用（形成技能）等过程，各过程注意数学方法的渗透，才能避免技能训练陷入机械训练．